HISTORIA DE LA DERIVADA



Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).
En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:
En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.

Siglo XVII

Los matemáticos perdieron el miedo que los griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal.
A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.

Newton y Leibniz.

A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).
Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo.
Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.
Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos de derivada \textstyle\frac {\mathrm dy}{\mathrm dx} y el símbolo de la integral ∫.

Notación

Existen diversas formas para nombrar a la derivada. Siendo f una función, se escribe la derivada de la función f\, respecto al valor x\, en varios modos.

Notación de Newton[editar · editar código]

La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:
\dot{x} = \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} = x^\prime(t)
\ddot{x} = x^{\prime\prime}(t)
y así sucesivamente.
Se lee «punto x\,» o «x\, punto». Actualmente está en desuso en Matemáticas puras, sin embargo se sigue usando en áreas de la física como la mecánica, donde otras notaciones de la derivada se pueden confundir con la notación de velocidad relativa. Se usa para definir la derivada temporal de una variable.
Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas de tiempo tales comos velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se usa para las primeras y segundas derivadas.

Notación de Leibniz

Otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de f\,, se escribe:
\frac{\mathrm d\left(f(x)\right)}{\mathrm dx}.
También puede encontrarse como \textstyle \frac {\mathrm dy}{\mathrm dx}\textstyle \frac {\mathrm df}{\mathrm dx} ó \textstyle \frac {\mathrm d}{\mathrm dx} f(x). Se lee «derivada de y\, (f\, ó f\, de x\,) con respecto a x\,». Esta notación tiene la ventaja de sugerir a la derivada de una función con respecto a otra como un cociente de diferenciales.
Con esta notación, se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos modos diferentes:
\frac{\mathrm d\left(f(x)\right)}{\mathrm dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \left(\frac{\mathrm d\left(f(x)\right)}{\mathrm dx}\right)(a).
Si y=f(x)\,, se puede escribir la derivada como
\mathrm dy \over \mathrm dx
Las derivadas sucesivas se expresan como
\frac{\mathrm d^n\left(f(x)\right)}{\mathrm dx^n} o \frac{\mathrm d^ny}{\mathrm dx^n}
para la enésima derivada de f\, o de y respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es
\frac{\mathrm d \left(\frac{\mathrm d \left( \frac{\mathrm d \left(f(x)\right)} {\mathrm dx}\right)} {\mathrm dx}\right)} {\mathrm dx}
la cual se puede escribir como
\left(\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^3 \left(f(x)\right) =
\frac{\mathrm d^3}{\left(\mathrm dx\right)^3} \left(f(x)\right).
La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos «d» parecen cancelarse simbólicamente:
\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm dy}{\mathrm du} \cdot \frac{\mathrm du}{\mathrm dx}.
En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos «d» no pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no-estándar, no obstante, se puede ver como números infinitesimales que se cancelan.

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